例55 两辆汽车同时从甲、乙两地相对开出，5小时后相遇。一辆汽车的速度是每小时55千米，另一辆汽车的速度是每小时45千米，甲、乙两地相距多少千米？
（四川省重庆市）
【分析 1】先求两辆汽车各行了多少千米，再求两辆汽车行驶路程的和，即得甲、乙两地相距多少千米。
【解法1】一辆汽车行驶了多少千米？
55×5=275（千米）
另一辆汽车行驶了多少千米？
45×5=225（千米）
甲、乙两地相距多少千米？
275+225=500（千米）
综合算式： 55×5+45×5
=275+225=500（千米）
【分析2】先求出两辆汽车每小时共行驶多少千米，再乘以相遇时间，即得甲、乙两地相距多少千米。
【解法2】两车每小时共行驶多少千米？
55+45=100（千米）
甲、乙两地相距多少千米？
100×5=500（千米）
综合算式： （55+45）×5
=100×5=500（千米）。
【分析 3】甲、乙两地的距离除以相遇时间，就等于两辆汽车的速度和。由此可列出方程，求甲、乙两地相距多少千米。
【解法3】设甲乙两地相距x千米。
x÷5=55+45
x=100×5
x=500
【分析4】甲乙两地距离减去一辆汽车行驶的路程，就等于另一辆汽车行驶的路程，由此列方程解答。
【解法4】设甲乙两地相距x千米。
x-55×5=45×5
x-275=225
x=275+225
x=500
答：甲、乙两地相距500千米。
【评注】解法2和解法1是算术解法，其中解法2是较好的解法。解法3和解法4是方程解法，其中解法3是较好的解法。比较以上四种解法，解法1和解法2可以运用乘法分配律相互转换，解法1和解法4、解法2和解法3，它们的数量关系是分别相同的，比较一下就会发现它们只是解题思路及方法不同。
例56 两辆汽车从相距345千米的两地同时相向开出，一辆汽车每小时行60千米，另一辆汽车每小时行55千米。经过几小时两辆汽车可以相遇？
（辽宁省沈阳市）
【分析 1】先求出两辆汽车每小时共行多少千米，即速度和。然后根据公式“两地距离÷速度和=相遇时间”即可求得。
【解法1】 345÷（60+55）
=345÷115=3（小时）。
【分析 2】两辆汽车在相遇时各行路程的和，就等于两地之间的距离345千米。由此可列方程解。
【解法 2】设经过x小时两车相遇。
60x+55x=345
115x=345
x=345÷115
x=3
【分析 3】根据“速度和×相遇时间=两地距离”这一等量关系，列方程解。
【解法3】设经过x小时两车相遇。
（60+55）×x=345
x=345÷（60+55）
x=345÷115
x=3
【分析4】两地之间的距离减去一辆汽车所行的路程，就等于另一辆汽车所行的路程。由此列方程解。
【解法4】设经过x小时两车相遇。
345-60x=55x
60x+55x=345
115x=345
x=3
答：经过3小时两辆汽车可以相遇。
【评注】解法1思路清晰，运算简便，是本题的较好解法。后三种解法都是方程解法，实际上这三种方程解法都是同一数量关系，比较一下就会发现它们都是由一个方程变形得来的，其中解法3较为简捷。
例57 快车和慢车同时从相距385千米的两个城市相对开出，经过5小时后两车相遇。慢车每小时行35千米，求快车每小时行多少千米？
（黑龙江省哈尔滨市南岗区）
【分析1】先求出慢车共行了多少千米，再用两城市间的距离减去慢车行的路程，就等于快车共行了多少千米，由此可求快车每小时行多少千米。
【解法1】慢车共行了多少千米？
35×5=175（千米）
快车共行了多少千米？
385-175=210（千米）
快车每小时行多少千米？
210÷5=42（千米）
综合算式： （385-35×5）÷5
=（385-175）÷5=210÷5
=42（千米）。
【分析2】用两城市间距离除以两车的相遇时间，即得两车速度和，再用速度和减去慢车的速度，即得快车速度。
【解法 2】两车每小时共行多少千米？
385÷5=77（千米）
快车每小时行多少千米？
77-35=42（千米）
综合算式：385÷5-35=77-35=42（千米）。
【分析3】根据“速度和×相遇时间=两地距离”这一等量关系，列方程解。
【解法3】设快车每小时行x千米。
（35+x）×5=385
35+x=385÷5
x=385÷5-35
x=42
【分析4】根据“慢车行驶路程+快车行驶路程=两地距离”列方程解。
【解法 4】设快车每小时行x千米。
35×5+5x=385
5x=385-35×5
5x=210
x=42
【分析5】假设快车的速度与慢车的速度相同，那么两城市之间的距离就是35×2×5=350（千米）。这样比实际距离少385-350=35（千米），再把35千米平均分成5份，每份与慢车速度的和，就是快车的速度。
【解法 5】（385-35×2×5）÷5+35
=（385-350）÷5+35
=35÷5+35=7+35=42（千米）
答：快车每小时行42千米。
【评注】比较以上五种解法，解法2的思路简明，运算简便，也比较容易想到，是本题的最佳解法。
例58 一条公路上依次有甲、乙、丙、丁四个车站（如图）。小明和小华两人同时从甲、丁两站相向而行，当小明用40分钟走到乙站时，小华刚好走到丙站，问两人再走几分钟后相遇？（上海市普陀区）
【分析1】先求出小明和小华40分钟共行多少米，再除以40即得两人的速度和。再用1 520米除以速度和就等于两人再走的相遇时间。
【解法 1】两人40分钟共行了多少米？
5 320-1520=3 800（米）
两人的速度和是多少？
3 800÷40=95（米）
两人再走几分钟相遇？
1520÷95=16（分钟）
综合算式： 1520÷[（5 320-1520）÷40]
=1520÷[3 800÷40]
=1520÷95=16（分钟）。
【分析2】先求出两人的速度和，再求出两人从开始行到相遇共用多少分钟，再减去共行的40分钟，即得再走的相遇时间。
【解法 2】两人的速度和是多少？
（5 320-1520）÷40=95（米）
两人走全程共需多少分钟？
5320÷95=56（分钟）
再走几分钟两人相遇？
56-40=16（分钟）
综合算式： 5320÷[（5320-1520）÷40]-40
=5320÷[3800÷40]-40
=5320÷95-40=56-40=16（分钟）.
【分析3】先求出已走的路程是再走路程的几倍，再用40分钟除以这个倍数，即得两人再走所需的时间.
【解法3】两人已走了多少米？
5320-1520=3800（米）
已走路程是再走路程的几倍？
3800÷1520=2.5（倍）
再走几分钟两人相遇？
40÷2.5=16（分钟）
综合算式： 40÷[（5320-1520）÷1520]
=40÷[3800÷1520]
=40÷2.5=16（分钟）.
【分析4】因为两地距离÷相遇时间=速度和，而两人速度和不变，所以两地距离和相遇时间成正比例.
【解法4】设再走x分钟两人相遇.
（5320-1520）∶40=1520∶x]
3800∶40=1520∶
x=
x=16
答：两人再走16分钟后相遇.
【评注】解法1是一般解法，易于理解和掌握，但计算较繁些.解法3的思路简明，运算也不繁，是本题的较好解法.同时，由解法3的思路还可推想出运用分数应用题的解法，或运用比的知识解题，读者可试试.
例59 甲乙两车分别从两城相对开出，甲车每小时行33千米，乙车每小时行28千米.甲车开出2小时后，乙车出发，经3小时相遇.两城相距多少千米？
（江苏省句容县）
【分析1】甲车先开2小时所行的路程，加上两车同时开3小时所行的路程，所得的和就是两城相距多少千米.
【解法1】甲车2小时行了多少千米？
33×2=66（千米）
甲乙两车同时开3小时共行多少千米？
（33+28）×3=61×3=183（千米）
两城相距多少千米？
66+183=249（千米）
综合算式： 33×2+（33+28）×3
=33×2+61×3
=66+183=249（千米）.
【分析2】甲车所行的路程加上乙车所行的路程，即得两城相距多少千米.
【解法2】甲车共行了几小时？
2+3=5（小时）
甲车共行了多少千米？
33×5=165（千米）
乙车行了多少千米？
28×3=84（千米）
两城相距多少千米？
165+84=249（千米）
综合算式： 33×（2+3）+28×3
=33×5+28×3=165+84=249（千米）.
【分析3】假设甲车开车时乙车也同时出发，即两车同时行5小时相遇.这样两车共行的路程比两城的实际距离多算了2个28千米.由此可求出两城间的实际距离。
【解法3】假设两车同时发车，共行了几小时相遇？
2+3=5（小时）
两车同时行5小时共行多少千米？
（33+28）×5=305（千米）
乙车比实际多计算了多少千米？
28×2=56（千米）
两城相距多少千米？
305-56=249（千米）
综合算式： （33+28）×（2+3）-28×2
=61×5-28×2
=305-56=249（千米）
【分析4】甲车先开出2小时，可假设为比实际晚开出1小时；而乙车假设为比实际早开出1小时.这样原题就假设为：甲乙两车同时相向而行，经过4小时相遇.但两车所行路程的和比两城实际距离少33-28=5（千米）.
【解法4】 （33+28）×（3+2÷2）+（33-28）
=61×4+5=244+5=249（千米）
答：两城相距249千米.
【评注】解法1和解法2是一般方法，容易想到，易于理解和掌握.解法3和解法4是假设法，思路新颖，算式看起来麻烦，但运算并不麻烦.
例60 甲、乙两列火车同时从相距630千米的两地相对行驶，6小时相遇.甲车每小时比乙车快5千米，问两车的速度各是多少？
（河南省夏邑县）
【分析1】先求甲乙两车的速度和，再用速度和加上5千米，就等于甲车2小时的行程，再除以2，即得甲车速度.用甲车速度减去5千米，即得乙车速度.
【解法1】甲乙两车的速度和是多少？
630÷6=105（千米）
甲车速度是多少？
（105+5）÷2=110÷2=55（千米）
乙车速度是多少？
55-5=50（千米）
综合算式：甲车： （630÷6+5）÷2
=（105+5）÷2=110÷2=55（千米）
乙车：55-5=50（千米）.
【分析2】假设乙车速度与甲车速度相同，那么相遇时，甲乙两车所行的路程和比两地实际距离多计算了5×6=30（千米）.再用630千米加上30千米的和除以6小时，即得甲车2小时的行程.由此可先求甲车速度；再求乙车速度.
【解法2】假设乙车与甲车速度相同，共多计算多少千米？
5×6=30（千米）
甲车2小时行多少千米？
（630+30）÷6=660÷6=110（千米）
甲车每小时行多少千米？
110÷2=55（千米）
乙车每小时行多少千米？
55-5=50（千米）
综合算式：甲车：（630+5×6）÷6÷2
=660÷6÷2=55（千米）
乙车：55-5=50（千米）.
【分析3】假设甲车速度与乙车速度相同，那么两车所行路程的和比两地的实际距离要少5×6=30（千米）.用630千米与30千米的差除以6小时，即得乙车2小时的行程.由此可先求乙车速度，再求甲车的速度.
【解法3】假设甲车与乙车速度相同，共少计算多少千米？
5×6=30（千米）
乙车2小时行多少千米？
（630-30）÷6=600÷6=100（千米）
乙车每小时行多少千米？
100÷2=50（千米）
甲车每小时行多少千米？
50+5=55（千米）
综合算式：乙车：（630-5×6）÷6÷2
=600÷6÷2=50（千米）
甲车：50+5=55（千米）.
【分析4】根据“速度和×相遇时间=两地距离”可列方程解.
【解法4】设乙车每小时行x千米，那么甲车每小时行（x+5）千米.
（x+5+x）×6=630
2x+5=630÷6
2x=630÷6-5
x=（630÷6-5）÷2
x=50
x+5=50+5=55
答：甲车每小时行55千米，乙车每小时行50千米.
【评注】解法1是通常解法，易于理解和掌握.解法2和解法3是假设法，易于理解，运算简便，是较好的解法.解法4的方程解法还可设甲车速度为x，读者可试试.
例61 快车从甲城开往乙城，需要6小时.慢车从乙城开往甲城，每小时行42.5千米.两车同时开出2小时还相距132千米，快车每小时行多少千米？
（上海市黄浦区）
【分析1】快车行全程需6小时，它已行了2小时，再剩下的路程，快车再行4小时就行完全程.也就是说，慢车2小时行驶的路程与132千米的和，快车用4小时即可行完.由此可求出快车每小时行多少千米.
【解法1】慢车2小时行了多少千米？
42.5×2=85（千米）
快车4小时可行驶多少千米？
85+132=217（千米）
快车每小时行多少千米？
217÷（6-2）=54.25（千米）
综合算式： （42.5×2+132）÷（6-2）
=（85+132）÷4
=217÷4=54.25（千米）.
【分析2】因为快车行全程需要6小时，已行了2小时，而快车没行的路程是已行路程的（6-2）÷2=2（倍），由此可求出快车2小时行多少千米，再求每小时行多少千米.
【解法2】快车没行的路程有多少千米？
42.5×2+132=85+132=217（千米）
快车没行的路程是已行路程的几倍？
（6-2）÷2=2（倍）
快车已行了多少千米？
217÷2=108.5（千米）
快车每小时行多少千米？
108.5÷2=54.25（千米）
综合算式： （42.5×2+132）÷[（6-2）÷2]÷2
=（85+132）÷[4÷]÷2
=217÷2÷2=54.25（千米）.
【分析3】根据“两城距离减去快车已行路程等于快车没行的路程”这一等量关系列方程解.
【解法3】设快车每小时行x千米.
6x-2x=42.5×2+132
4x=217
x=54.25
答：快车每小时行54.25千米.
【评注】解法3的等量确定恰当，运算也较简便.解法1的思路更简捷，更巧妙，运算也更为简便，是本题的最佳解法.
